轉移機率矩陣（transition probability matrix）

有了一條馬可夫鏈後，你需要一種整齊的方式來記錄每一個一步可能性。轉移矩陣 P 正是這樣的記帳工具：一張方形表，第 i 列、第 j 行的元素 P(i, j) 是一步從狀態 i 跳到狀態 j 的機率。讀一整列，你便看見站在該狀態者的完整命運 —— 他下一步所有的機率一次攤開。

由於從任一狀態都必須去到某處，每一列的元素都非負且加總為 1。具有這項性質的矩陣稱為隨機矩陣；列是機率分布，而非任意數字。（行的總和一般不為 1 —— 那是另一種特殊的矩陣。）對 m 個狀態的鏈，P 是 m 乘 m 的矩陣，也是你拿來計算的唯一物件：把當前分布的列向量乘上 P，就把它向前推進一步。

矩陣觀點正是解鎖整套理論的關鍵。多步行為是矩陣冪，平衡是特徵向量，收斂速度可從特徵值讀出。轉移矩陣把關於遊走棋子的機率問題，轉化為乾淨的線性代數 —— 這就是為什麼馬可夫鏈理論有極大一部分其實是隨機矩陣的研究。