分布的乘法（multiplication of distributions）

分布美妙地靈活：你能把它們相加、無限次微分、轉換、卷積。但有一個一般運算它們頑強地抵抗——一般而言你不能把兩個分布相乘。這不是一個等待巧妙修補的暫時空缺；它是這套理論核心處一個真正、可證明的障礙，而尊重它正是正確使用分布的一部分。

你總能做的，是把一個分布乘以一個平滑函數。若 a 無限平滑而 T 是分布，則乘積 a 乘 T 透過把平滑因子交給探針來定義：(a T, phi) = (T, a phi)，這說得通，因為 a phi 仍是一個平滑試驗函數。麻煩起於兩個因子都粗糙的時候。試著把 delta 平方：沒有任何一致的辦法定義 delta 乘 delta。看出這種不一致的一個乾淨方式是透過傅立葉轉換，它把乘積變成卷積——而 delta 轉換成常數 1，其與自身的卷積發散。連黑維塞階梯與 delta 的乘積也是模稜兩可的，因為在某些慣例下 H 在跳躍處等於 1/2，而天真的答案依賴於那個選擇。

這個限制對非線性偏微分方程最為要緊。像 u^2 或 u 乘 u_x 這樣的非線性項是乘積，而若 u 只是一個分布，那個乘積可能毫無意義——這正是為什麼非線性方程抵抗線性的分布機器，並要求額外的結構（熵條件、黏性解、讓函數正則到足以相乘的索伯列夫嵌入）。有整套理論專為尋找老實的替代品而存在；別把分布當作可以相乘似地，把這個空缺糊弄過去。