動量映射（moment map）
諾特原理說，力學系統的每個連續對稱都給出一個守恆量：旋轉對稱給出角動量，平移對稱給出線動量。動量映射是一次性產生所有這些守恆量的幾何機器。當一個對稱群 G 作用在辛流形上時，動量映射是從流形到 G 的李代數對偶的單一映射，其分量恰恰是生成每個對稱單參數子群的守恆動量。
精確地說，假設李群 G 以辛同胚作用在 (M, omega) 上，李代數為 g。每個 xi 屬於 g 在 M 上生成一個向量場 X_xi（無窮小作用）。此作用是哈密頓的，若存在動量映射 mu: M -> g^*（李代數的對偶），使得對每個 xi 屬於 g，函數 <mu, xi>（mu 與 xi 的配對，M 上的函數）是 X_xi 的哈密頓量：即 d<mu, xi> = iota_{X_xi} omega。通常還要求 mu 對 G 在 g^* 上的餘伴隨作用是等變的。具體地，mu 的每個分量是繫於一個對稱方向的守恆量。對旋轉 R^6 的 SO(3)，mu 就是角動量向量；對平移則是線動量——「動量映射」之名正源於此。
為何重要：動量映射是現代對稱約化的樞紐。它的水平集 mu^{-1}(0) 對 G 取商，就是馬斯登-韋恩斯坦約化的約化相空間，是嚴格「除掉」對稱的方法。它編碼諾特定理（每當 H 是 G-不變時，mu 沿哈密頓流為常數，因其分量與 H 卜瓦松對易），並透過凸性定理（阿蒂亞、吉耶曼-斯特恩伯格）使環面作用的 mu 的像成為凸多胞形，把辛幾何連到組合學與環簇。一個提醒：並非每個辛作用都是哈密頓的——動量映射未必存在（可能有 H^1(M) 或 H^2(g) 中的上同調障礙），而存在時它可能僅在相差一個常數（中心元的平移）意義下唯一，且未經調整可能不等變。
令 SO(3) 作用在空間中粒子的相空間 R^6 = T*R^3 上，同時旋轉位置 q 與動量 p。此作用是哈密頓的，其動量映射 mu: R^6 -> so(3)^* = R^3 是 mu(q, p) = q x p，即角動量向量。每個分量 <mu, xi> 生成繞對應軸的旋轉，而若哈密頓量 H 旋轉不變，則角動量 q x p 守恆——諾特定理，直接從動量映射讀出。
對 R^6 上的 SO(3)，mu(q, p) = q x p 就是角動量——把諾特定理幾何化。
辛作用未必容許動量映射：其存在可能受阻（作用僅是辛的而非哈密頓的），即使 mu 存在，除非你施加等變性，否則它僅在 g^* 中相差一個加法常數意義下確定。「辛作用」與「哈密頓作用」並非同義。