餘伴隨軌道（coadjoint orbit）
李群以伴隨作用作用在自己的李代數上（藉共軛旋轉代數），對偶地它以餘伴隨作用作用在李代數的對偶上。這個對偶作用的軌道——從給定泛函出發、施以所有群元素所能到達的集合——就是餘伴隨軌道。引人注目的事實是：這些軌道中的每一個都自動是辛流形，帶有不需任何額外選擇的典範辛形式。它們是全數學中最自然的一族辛流形。
精確地說，令 G 是李群，李代數為 g，對偶為 g^*。G 在 g^* 上的餘伴隨作用是伴隨作用的對偶：g . xi，其中 g 屬於 G，xi 屬於 g^*。軌道 O_xi = {Ad^*_g xi : g 屬於 G} 帶有基里洛夫-科斯坦特-蘇里奧（KKS）辛形式，在點 xi 處由 omega_xi(ad^*_X xi, ad^*_Y xi) = <xi, [X, Y]> 定義，即 xi 與李括號的配對。此公式恰好在軌道的切空間上良定義且非退化，而 [.,.] 的雅可比恆等式使它為閉——所以 (O_xi, omega) 是一個無需任何選擇的辛流形。餘伴隨軌道恰恰是 g^* 上自然李-卜瓦松結構的辛葉。
為何重要：餘伴隨軌道是表示論的辛幾何面。基里洛夫的軌道方法主張 G 的不可約么正表示對應於餘伴隨軌道的（量子化）——對冪零群以及許多可解群與緊群，這是一本精確的字典。它們也是辛約化的模型纖維（每個餘伴隨軌道都是 T*G 的約化），而對緊群，餘伴隨軌道即旗流形，同時是凱勒與辛的。一點需分清：典範辛形式存在於每個軌道個別之上，而非 g^* 本身——g^* 只是一個卜瓦松流形，被辛的餘伴隨軌道分葉，而不同「大小」的軌道（例如過正則元與奇異元的）有不同的維數。
對 G = SO(3)，對偶 so(3)^* 是 R^3，餘伴隨作用是普通旋轉。軌道是半徑 r > 0 的同心球面（外加原點這個單一不動點）。半徑 r 球面上的 KKS 形式是 r 倍的標準面積形式，所以每個球面 S^2_r 都是辛的，總面積 4 pi r^2。量子化這些（波耳-索末菲：面積為 2 pi hbar 的整數倍）恰好恢復 SU(2) 的自旋 j 表示，這是軌道方法最乾淨的形式。
對 SO(3)，餘伴隨軌道是 R^3 中的球面；量子化它們即得自旋表示。
辛結構存在於每個軌道上，而非 g^* 上——g^* 是一個卜瓦松流形，其辛葉就是餘伴隨軌道。不同軌道一般有不同維數，而過 0 的軌道是單一點，不是正維數的辛流形。