卜瓦松括號（Poisson bracket）
/ PWAH-sohn /
在力學中你有許多可觀測量——能量、動量、角動量——全都是相空間上的函數。一個自然的問題是：當系統演化時，哪些可觀測量保持不變，哪些會改變？卜瓦松括號是單一運算 {f, g}，它取兩個可觀測量並回傳第三個，而它恰好回答了這點：任意可觀測量 f 沿著由 g 生成的運動的變化率，正是 {f, g}。它把整個動力學打包進一個函數代數裡。
精確地說，在辛流形 (M, omega) 上，兩個光滑函數 f, g 的卜瓦松括號是 {f, g} = omega(X_f, X_g)，等價地 {f, g} = X_g(f) = df(X_g)，其中 X_f, X_g 是 f 與 g 的哈密頓向量場。在達布座標下它是熟悉的公式 {f, g} = sum_i (partial f/partial q_i)(partial g/partial p_i) - (partial f/partial p_i)(partial g/partial q_i)。它是雙線性的、反對稱的（{f, g} = -{g, f}）、滿足雅可比恆等式，並在每個位置上作為導子（萊布尼茲律 {f, gh} = {f, g}h + g{f, h}）。這些性質使 M 上的光滑函數成為一個卜瓦松代數，力學的代數核心。任意可觀測量的時間演化是 df/dt = {f, H}，所以 f 守恆當且僅當 {f, H} = 0。
它的重要性遠超古典力學。此括號是量子力學中對易子的古典影子——狄拉克的量子化規則把 {f, g} 送到 (1/i hbar)[f-hat, g-hat]——這正是為何卜瓦松代數是古典與量子理論之間的橋樑。一個有用的核驗與常見混淆點：{q_i, p_j} = delta_{ij} 且 {q_i, q_j} = {p_i, p_j} = 0，這是古典正則關係；而 {f, g} 的符號慣例（甚至 omega = sum dp ^ dq 與 dq ^ dp 的次序）在不同教科書間各異，所以信任任何公式前務必先釘死慣例。
對 R^6 中的角動量（三維空間中的粒子），寫 L_x = q_2 p_3 - q_3 p_2，並循環。計算卜瓦松括號得 {L_x, L_y} = L_z，並循環。這些與旋轉的李代數 so(3) 是同樣的結構關係——角動量分量的卜瓦松括號重現了旋轉代數，量子化後即成為著名的自旋對易關係。
{L_x, L_y} = L_z：角動量的卜瓦松括號重現旋轉代數 so(3)。
此括號滿足雅可比恆等式，正是因為 omega 為閉（d omega = 0）；去掉閉性你就失去雅可比，所以卜瓦松代數結構編碼的是辛幾何的定義條件，而不只是非退化。