把問題建模成網路流（modeling problems as network flow）

流理論真正的威力，往往不在流本身——而在於一個表面上毫無管路的問題，能被重塑成一個網路，使它的最大流或最小割正是你一直想要的答案。學會看出「選一個最佳子集」或「便宜地分開兩群」其實偷偷是個流問題，是演算法設計中槓桿最大的技能之一。

這門手藝是一小盒零件。二分圖匹配：源點到左（容量 1）、允許的配對由左到右、右到匯點（容量 1）；最大流就是最大匹配。頂點容量：把頂點 v 拆成 v-入 與 v-出，以一條容量為 v 上限的邊相連，使一個節點只能承載那麼多。下界或「必用」邊：用輔助的源／匯邊來移轉流量。兩大族尤其常見。專案選取／最大權閉包：唯有先取某專案的前置條件才能取它；把利潤建模為源邊、成本為匯邊、前置條件為無限容量邊，最小割把「取」與「不取」分開以最大化淨利。影像分割：像素是頂點、相鄰對是邊（其容量是把它們分開的懲罰）、源與匯是兩個標籤，而最小割就是最便宜的前景／背景邊界。邊不相交路徑：給每條邊容量 1，最大流就等於最多的邊不相交 s-t 路徑數（Menger 定理）。

做得好，把問題建模成流能把看似需要暴力或巧妙臨時推理的問題，化為對某個最大流或最小割常式的一次多項式呼叫，且常附帶一張解釋最佳值的對偶憑證。讓它保持誠實的紀律是：建好網路後，你必須雙向證明對應關係——你問題的每個合法解都對映到一個同值的流／割，而每個整數流／割都能映回一個合法解——否則這個構造可能悄悄回答了另一個問題。也要知道邊界：許多問題確實不能歸約成流（一般匹配需要花朵；含相互衝突的二擇一約束的問題可能是 NP 困難），所以流是一個值得優先嘗試的強大預設，而非萬用鐵錘。