匹配漸近展開（matched asymptotic expansions）

當一個問題既有一個萬事都發生得飛快的薄區域（邊界層），又有一個萬事都緩慢變化的寬區域時，沒有任何單一近似能同時描述兩者。匹配漸近展開法構造兩個量身定制的近似——每個區域一個，各用自己自然的變量——再在一個重疊區裡把它們黏合，使彼此吻合。它是求解奇異微擾問題的標準機器。

運作分四步。第一，外展開：令小參數為零（或對其展開），解那個在遠離層處成立的約化問題；它滿足遠離層的邊界條件，卻不滿足層內的。第二，內展開：通過對變量重新標度（例如 X = x/epsilon）放大到薄層之內，使快變化變成一階量；解所得的內方程，它如今保留了先前被丟掉的最高階導數項。第三，匹配條件：在中間的重疊區裡，外解的內極限必須等於內解的外極限（常用范戴克匹配法則表述），這就定下各自的未知常數。第四，可選地把兩者相加再減去它們共同的匹配部分，構成一個統一的複合近似。

這是流體力學中邊界層理論的主要工具（普朗特對快速流中物體上薄黏性層的分析）、也是傳熱、反應擴散、以及任何帶分離尺度模型的工具。誠實的提醒是：匹配很微妙，它假設確實存在一個重疊區，使兩套展開同時有效。選對內標度（epsilon 的正確冪次）本身由主導平衡指引，是成敗攸關的一步；錯誤的標度會給出一個要麼重複外問題、要麼自相矛盾的內方程，提示你猜錯了。