主導平衡原理（principle of dominant balance）

主導平衡原理是一門實用的技藝：通過假定其中兩項大致同等大小、並壓倒其餘，去猜測在給定極限下方程裡哪些項才真正要緊。面對一個擠滿了大小未知的項的方程，你不去正面硬解；你先假設某一對項彼此平衡而其餘可忽略，推出這意味著什麼，再回頭檢驗這個假設是否自洽。它幾乎是每一次漸近計算的第一步。

運作方式是：設一個方程有若干你尚不知其大小的項。你挑出兩個候選項，宣稱它們量級相當（處於平衡），並暫時丟掉其餘所有項。解這個被簡化的平衡，告訴你未知量的尺度，你再用它來估計被丟掉的項。若它們確實比你保留的兩項小，這個平衡就是自洽的，你便找到了一個有效的漸近區域；若某個被丟掉的項結果同樣大或更大，這個平衡就不自洽，必須捨棄。依次嘗試每一種候選配對（並剔除不自洽者），就系統地揭示出該問題所容許的每一個特徵標度。

主導平衡正是你發現以下事物的方式：邊界層的厚度（讓乘小參數的最高階導數項與剩下的主導項相平衡，解出層寬）、匹配展開中正確的內標度、常微分方程解在大 x 處的主導行為、以及偏微分方程相似解中正確的指數。誠實的提醒是：主導平衡是尋找候選行為的啟發法，而非證明。一個自洽的平衡是一條有力的線索，但它仍須對照完整方程加以確認；而且一個問題可能有好幾個不同的自洽平衡，各自描述不同的區域或區制。