鞅表示定理（martingale representation theorem）

假設你世界裡的全部隨機性都來自單一一個布朗運動 B——每一個不確定的量都是那唯一雜訊來源的某個函數。現在取任何一個建立在這個世界上的公平賭局（任何鞅）：一個沒有可預測漂移的過程。鞅表示定理提出一個了不起的主張：每一個這樣的公平賭局都能寫成在 B 上某個交易策略的累積利潤。換句話說，在一個布朗世界裡只有「一個」基本的風險來源，而每一個鞅不過是對它下注的某種特定方式。

精確地說：若 M(t) 是一個適應於布朗運動 B 所生成之資訊的鞅，那麼存在一個可預測過程 H(t)，使得 M(t) = M(0) + 「integral of H dB」。這個鞅被還原為一個對 B 的伊藤積分——而回想每一個伊藤積分「都是」鞅，所以這是一個完美的逆命題：對 B 的伊藤積分恰恰就是布朗世界的鞅。被積函數 H 是「持股」或「避險比率」：在每一瞬它說要承擔多少布朗風險，才能重現鞅的下一步移動。定理保證 H 存在且本質上唯一；然而它並不交給你一個求 H 的公式（那是另一個、往往困難的計算，與 Clark-Ocone 公式相關）。

從精神上陳述，這就是為什麼由布朗運動驅動的市場是「完備」的數學原因：每一份收益、每一個或有請求權，都能藉由連續交易標的資產與一張債券來完美複製（避險）。那種可複製性正是使 Black-Scholes 價格唯一且無套利的東西——有一個自我融資的策略恰好重現選擇權，所以它的公平價格就是那個策略的成本。誠實的提醒：完備性是「理想化」的單一布朗模型的特徵。真實市場的風險來源多於可交易資產（跳躍、隨機波動率），這使它們不完備——並非每個請求權都能避險，價格也不再唯一。而這個定理是一個存在性結果：它保證避險策略 H 存在，但它本身並不告訴你 H 是什麼。