Girsanov 定理（Girsanov's theorem）
/ geer-SAH-nov /
想像你有一個帶著惱人漂移的布朗運動——比方說它傾向往上漫遊——而你希望它沒有漂移、是一個乾淨的公平鞅。你無法改變路徑本身；它們就是它們。但你「可以」改變機率權重：保留同樣的路徑，卻重新加權哪些路徑是「可能的」，在新的加權之下，同一個過程看起來就完全沒有漂移。Girsanov 定理是這個手法的精確配方。它告訴你如何傾斜你的機率測度，以對布朗運動加上或移除漂移，同時保持一切一致。
其機制是透過一個重新加權因子的測度變換。你把原本的機率 P 換成一個新的機率 Q，兩者由一個乘性密度（一個 Radon-Nikodym 導數）相關聯：Q 賦予每條路徑的，是 P-機率乘以一個指數權重。具體來說，要移除一個漂移 theta，你用指數鞅 exp(-theta B(t) - (1/2) theta^2 t) 重新加權。Girsanov 定理說，在新測度 Q 之下，過程 B(t) + theta t 是一個標準的（無漂移）布朗運動。漂移並沒有從路徑中被刪除——它被吸收進「什麼算可能」的重新定義裡。這兩個測度對「哪些事件是可能的」意見一致（它們是「等價」的：沒有一方把另一方允許的稱為不可能）；它們只在勝算上意見不同。
這是現代數理金融的祕密引擎。Black-Scholes 價格可以寫成一個期望的折現收益——但「只有」在切換到一個特殊的「風險中立」測度之後，在該測度下每項資產都以無風險利率漂移。Girsanov 就是授權那次切換的東西：它把真實世界的漂移 mu 變成無風險利率 r，使得價格成為折現收益的期望（資產定價基本定理）。它也支撐著擴散的概似比、以及蒙地卡羅中的重要性抽樣。誠實的提醒：重新加權只調整「漂移」——它無法改變波動率（擴散係數是測度不變的）。而測度變換必須是「等價」的，所以它只能移除不太狂野的漂移；指數權重本身必須是一個真正的鞅（Novikov 條件），否則整套建構就崩潰。
一檔股票在真實世界機率下以 mu = 10 % 漂移，但選擇權應在風險中立測度下定價，在該測度下它以無風險利率 r = 4 % 漂移。Girsanov 定理說：重新加權路徑，使漂移從 10 % 移到 4 %，而波動率原封不動。選擇權的公平價格於是就是在這個重新加權測度下折現的期望收益。
重新加權路徑改變漂移，卻絕不改變波動率；可能的事件仍然可能。
Girsanov 只能改變「漂移」，絕不能改變波動率，而且兩個測度必須等價（對什麼是可能的意見一致）。重新加權因子本身必須是真正的鞅（Novikov 條件），否則定理失效。