可預測(可預見)過程(predictable / previsible process)
想像你在賭博,且每一回合可以改變下注金額。有一條鐵律:你必須在那一回合開打「之前」就決定該回合的賭注,且只能用你已經看到的東西。你不能藉由偷看第 n 回合的結果來決定第 n 回合的下注——那是作弊。一個恰好遵守這條規則的過程,亦即時刻 n 的值只用到時刻 n-1 結束時可得的資訊就確定下來,稱為可預測(英國文獻說 previsible,可預見)。它是誠實、不通靈的下注策略的形式模型。
精確地說,過程 H_1, H_2, H_3, ... 相對於過濾族是可預測的,若每個 H_n 都是 F_(n-1)-可測。把它與「適應」(鞅所滿足的條件,其中 M_n 只需 F_n-可測)相比。可預測強了一個檔次、早了一步:H_n 必須在時刻 n 整整一步之前就可知,不能有來自 F_n 的資訊滲入。這名稱很貼切——H_n 在「第 n 個增量發生之前就已被確定」這個意義上是「可預測的」;它自身不帶任何驚奇。一個固定策略,以及「押上一回合的結果」,都是可預測的;「押這一回合的結果」則不是。
可預測過程是鞅變換的輸入,即隨機積分中被積函數的離散對應物。賭博系統無法打敗公平賭局的全部理由,都建立在要求賭注是可預測的:若你被允許在知道結果後才下注,你顯然能贏,所以不通靈的要求正是讓「你無法打敗公平賭局」成為一條定理而非謬論的關鍵。在連續時間裡,同樣的想法成了伊藤積分的技術核心,那裡的被積函數必須可預測,使你永遠不會對著未來積分。
在一場公平擲硬幣賭局中,令 H_n 為你在第 n 回合的賭注。「永遠押 2 元」與「輸後把上一回合賭注加倍」(經典的 martingale 加倍策略)都是可預測的:H_n 只用到第 1 到 n-1 回合。但「恰好在第 n 回合出正面時押 100 元」就「不」可預測——它需要在下注前知道第 n 回合的結果,這是任何誠實策略都做不到的。
可預測=提前一步、只用過去就決定;這正是使下注策略誠實的關鍵。
可預測(H_n 為 F_(n-1)-可測)嚴格強於適應(F_n-可測):其值必須在它的增量整整一步之前就知道,不能偷看當下。