相對於過濾族的鞅（martingale relative to a filtration）

說一個過程是鞅，在你說清楚它是相對於「什麼」資訊的鞅之前，都還不完整。粗略版本是對 M_0, ..., M_n——過程自己的過去——取條件。但你往往觀測到的不只是過程本身：旁側資訊、其他訊號、整個試驗的完整紀錄。到時刻 n 為止可得的資訊量被打包成一個 σ-代數 F_n，而遞增的鏈 F_0 包含於 F_1 包含於 F_2 ... 就是過濾族（filtration）——「資訊隨時間累積、永不遺忘」的形式模型。鞅永遠是相對於某個指定過濾族的鞅。

完整定義有三部分。第一，過程必須適應於過濾族：每個 M_n 都是 F_n-可測的，意思是它的值由時刻 n 可得的資訊就能知道（不准偷看未來）。第二，每個 M_n 可積，E[|M_n|] 有限。第三，公平性條件是相對於過濾族陳述的：E[M_(n+1) given F_n) = M_n。對更豐富的 F_n（而非僅過程自己的歷史）取條件，使這個性質真正更強——相對於更大的資訊流，要當鞅更難，因為即使你知道得更多，你的預測也必須維持不動。每當一個過程相對於 F_n 是鞅時，它對自己生成的（較小的）過濾族自動也是鞅，但反過來不成立。

為什麼要堅持這套記帳？因為停時、下注策略與選擇停止定理全都是相對於同一個過濾族定義的，而只有當「你在時刻 n 知道什麼」一勞永逸地固定下來時，它們才能相互契合。經典陷阱：一個過程對某個過濾族是鞅，對更大的過濾族卻可能失敗。例如，揭露未來的資訊會摧毀公平性——若 F_n 暗中已經「知道」明天的擲硬幣結果，則 M_(n+1) 的條件期望就不再是 M_n。永遠要指明過濾族；未加限定的「鞅」隱含指的是相對於過程自己生成的自然過濾族。