下半連續性（lower semicontinuity）
當你取極小化序列的極限時，唯一承受不起的，是能量在極限中神秘地消失——是極限函數比序列中任何被允許者都更廉價。下半連續性正是禁止這種向下跳躍的性質。它是連續性的單邊削弱：函數在極限中可以向上跳，但絕不能向下跳。
若每當 u_k 收斂到 u，極限處的值都不大於極限的那些值——E[u] 不大於 E[u_k] 的下極限——則泛函 E 沿此序列下半連續。連續性會要求等式 E[u] = lim E[u_k]；下半連續性只要求安全方向的那個不等式。這個較弱的條件恰好是變分存在性所需，原因在於：直接法中可用的收斂只是弱的（強制性只買得到弱緊性），而能量泛函通常並非弱連續——一個快速振盪的序列可攜帶平滑弱極限看不見的能量，故能量確實漏失。但它只向下漏：極限的能量可以跌到極限能量之下，卻絕不會升到其上。恰恰禁止那種向下漏失的，就是下半連續性，它是成立的至多者，也是所需的全部。
主力判準是凸性。對能量 E[u] = L(x, u, grad u) 的積分，只要拉格朗日量 L 對梯度變數凸，泛函便弱下半連續（托內利定理）；對向量值問題，凸性放寬為莫雷較微妙的擬凸性。這正是為何凸能量——狄利克雷能量、p-能量、凸區間中的彈性拉格朗日量——如此乖巧，也是為何變分法對凸性傾注如此多的心力。下半連續性是那張證書，證明被強制性抓住的候選者確實是極小元。
考慮在斜率 +1 與 -1 之間越來越快振盪的函數 u_k，故每個處處有 |grad u_k| = 1、狄利克雷能量為 1，而 u_k 弱收斂到平坦函數 u = 0，其能量為 0。這裡 E[u] = 0 嚴格小於 lim E[u_k] = 1——能量在弱極限中向下漏失。下半連續性成立（0 不大於 1），而那正是弱收斂下倖存的不等式，而非等式。
能量在弱極限下可以漏失，但只能向下——那種單邊的倖存就是下半連續性。
此處相關的概念是對弱收斂的下半連續性，而要求它嚴格強於要求對強（範數）收斂的下半連續性——許多能量強連續卻僅弱下半連續。梯度上的凸性對弱版本而言充分；缺了它（非凸的拉格朗日量），下確界可能根本達不到，極小化序列永遠振盪。