布朗運動的李維刻畫（Levy's characterization）
/ lev-EE (Lévy) /
李維刻畫是一個出人意料且強而有力的辨識定理：它說你能僅憑兩個抽象的鞅性質就認出布朗運動，完全不必檢驗增量是高斯且獨立的。這正是布朗運動在隨機微積分運算下穩健的原因——若某變換產生一個具正確二次變差的連續鞅，它就必定是布朗運動，無論它是怎麼造出來的。它是「(dB)^2 = dt」的逆向，也是一項基石性的證明技巧。
定理陳述：若 M 是連續局部鞅、M_0 = 0、且對所有 t 二次變差 [M]_t = t，則 M 是標準布朗運動。多維版本：若 M = (M^1, ..., M^d) 是連續局部鞅向量，M^i_0 = 0 且二次協變差 [M^i, M^j]_t = delta_{ij} t（每個分量的時鐘為 t、不同分量正交），則 M 是 d 維標準布朗運動。證明是伊藤公式一個漂亮的一行應用：固定 theta 屬於 R^d，把伊藤用於複指數 exp(i theta . M_t + (1/2) |theta|^2 t)；(dB)^2 = dt 的修正恰好抵消時間漂移，顯示這是局部鞅，故（經一致可積檢驗後）是真正的鞅，這逼出 E[exp(i theta . (M_t - M_s)) | F_s] = exp(-(1/2)|theta|^2 (t - s))。這恰是「增量與過去獨立且服從 N(0, (t-s) I) 分配」的陳述——布朗運動的定義性質。
它的威力在於把「我有一個具正確括號的連續鞅」升級為「我有一個布朗運動」。它是丹比斯-杜賓斯-施瓦茨定理（每個連續局部鞅都是時間變換後的布朗運動，時間變換即其自身的 [M]）背後的引擎，是吉爾薩諾夫定理（移位後的過程仍是布朗運動，因它是括號為 t 的連續鞅）背後的引擎，也是證明正交變換與布朗運動某些泛函仍是布朗運動的工具。不可捨棄的誠實提醒：(1) 連續性不可或缺——補償卜瓦松過程 N_t - lambda t 是鞅卻非布朗運動，但它不連續，且其二次變差確為 N_t（一個跳躍過程）而非確定的 t。(2) 括號必須恰為 t（確定且線性）；二次變差 [M]_t 為其他遞增過程的連續鞅，是時間變換後而非標準的布朗運動。(3) 在多維中，i != j 時的正交性 [M^i, M^j] = 0 正是使分量成為獨立布朗運動的條件；沒有它便得到相關的高斯過程。
令 B 為布朗運動，定義 M_t = integral_0^t sign(B_s) dB_s。則 M 是連續局部鞅（一個伊藤積分），且 [M]_t = integral_0^t sign(B_s)^2 ds = integral_0^t 1 ds = t。由李維刻畫，M 本身就是標準布朗運動——儘管它是用一個不尋常的積分從 B 製造出來的。（此 M 正是田中局部時公式中出現的那個布朗運動。）
括號為 t 的連續鞅自動是布朗運動，無論它如何建構——這就是李維定理的辨識威力。
兩個假設缺一不可：去掉連續性，補償卜瓦松過程便是反例；把括號從 t 改為一般遞增過程，得到的是時間變換後而非標準的布朗運動。