拉格朗日插值（Lagrange interpolation）
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想像你要一份食譜，能把資料值直接調配成插值多項式，完全不必解任何方程組。拉格朗日插值正是如此：它把穿過你那些點的唯一多項式寫成 y 值的加權混合，而每個權重都是一個特製的小多項式，巧妙地讓各點完全對齊。
訣竅在於拉格朗日基底多項式 L_i(x)：對第 i 個資料點，它被設計成在 x_i 處等於 1、在其他每個節點 x_j 處等於 0。做法是把所有 j 不等於 i 的因式 (x - x_j) 相乘，再除以同一乘積在 x_i 代入後的值，使它在 x_i 正規化為 1。於是插值多項式就是 p(x) = y_0 L_0(x) + y_1 L_1(x) + ... + y_n L_n(x)。代入 x_k：每個 i 不等於 k 的 L_i 都消失，只有 L_k 存活且等於 1，所以 p(x_k) = y_k——它自動穿過每一個點。兩點時這就重現穿過它們的直線；三點時則是拋物線。
拉格朗日形式在理論與證明上很優美，因為答案被明確寫出，不需任何線性代數。它誠實的缺點是實務上的：樸素形式下，每個 x 計算 p(x) 要花 O(n^2) 的工作量，而且「加入」一個新資料點會迫使你從頭重建每一個基底多項式（不像牛頓形式只需附加一項）。它在數值上也可能很敏感。這些缺陷可由改寫成重心拉格朗日公式來修正，它保留了優雅，卻又快速又穩定。
穿過 (0, 1)、(1, 3)、(2, 2)：L_0 = (x-1)(x-2)/((0-1)(0-2))、L_1 = (x-0)(x-2)/((1-0)(1-2))、L_2 = (x-0)(x-1)/((2-0)(2-1))。則 p(x) = 1*L_0 + 3*L_1 + 2*L_2。在 x = 1 處，L_0 = L_2 = 0 且 L_1 = 1，所以 p(1) = 3。
每個基底多項式在自己的節點為 1，在其他所有節點為 0。
拉格朗日形式與牛頓形式給出「同一個」多項式——它們不是不同的插值結果，只是不同的記帳方式。節點固定時選拉格朗日（重心式），預期逐步加點時選牛頓。