多項式插值（polynomial interpolation）

假設一個感測器每小時才記錄一次溫度，但你需要在任意中間時刻得到一個平滑估計。你想要一條既簡單又恰好穿過每一個記錄點的曲線，好讓你在從未量測的時刻讀出數值。多項式插值是建立這條曲線最基本的方法：你用一個多項式——形如 a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... 的冪次和——穿過這些資料點。

核心事實是一個唯一性定理：給定 n + 1 個 x 值互異的點，恰好存在唯一一個次數至多為 n 的多項式穿過它們全部。兩點決定一條直線（一次），三點決定一條拋物線（二次），依此類推。求係數有幾種等價的途徑——解一個線性方程組（范德蒙矩陣）、直接寫成資料值的加權和（拉格朗日形式），或逐點建構（牛頓差商形式）。三者得到的是「同一個」多項式；差別只在計算成本、數值穩定性，以及加入新點的難易。

插值是數值積分（對插值多項式積分，而非對未知函數）、數值微分以及常微分／偏微分方程求解器底下的基石，因為把棘手的函數換成多項式後，積分、微分與計算都變得容易。關鍵的誠實是：穿過這些點並不保證點與點之間的曲線忠實。一個高次多項式穿過許多等距點時可能劇烈振盪甚至發散（龍格現象），所以實務上人們要嘛選用特殊節點（切比雪夫節點），要嘛放棄單一全域多項式而改用許多低次片段（樣條）。