久保田-渡邊不等式（Kunita-Watanabe inequality）
/ koo-NEE-tah wah-tah-NAH-bay /
久保田-渡邊不等式是隨機微積分的柯西-施瓦茲不等式：它以兩個半鞅二次變差的幾何平均，界定它們之間的二次協變差（更有用地，是兩個隨機積分的協變差）。它是貫穿全理論、控制交叉項的基本估計，也是讓雙線性形式 [ , ] 表現得像內積、使隨機積分真正成為希爾伯特空間建構的關鍵。
逐點形式：對兩個連續局部鞅 M 與 N，協變差 [M, N] 的全變差測度被變差測度的幾何平均所支配，在 [0, t] 上的測度意義下 d|[M, N]| <= sqrt(d[M]) sqrt(d[N])。積分後、最常用的形式：對可料過程 H 與 K，積分後協變差的絕對值受 integral_0^t |H_s| |K_s| d|[M, N]|_s <= ( integral_0^t H_s^2 d[M]_s )^{1/2} ( integral_0^t K_s^2 d[N]_s )^{1/2} 界定。換言之，積分 integral H dM 與積分 integral K dN 的協變差，受 H 的 L^2(d[M]) 範數乘以 K 的 L^2(d[N]) 範數所控制——恰是以 d[M] 與 d[N] 充當參考測度的柯西-施瓦茲。證明是把古典柯西-施瓦茲論證用於協變差的半正定雙線性結構：對任意實數 a, b，過程 a^2 [M] + 2ab [M, N] + b^2 [N] = [aM + bN] 遞增，這逼出恰為久保田-渡邊的判別式不等式。
它的角色是讓協變差成為名副其實的內積，並控制誤差與交叉項。它證明雙線性映射 (H, K) -> integral H K d[M, N] 有界，這正是讓你能一致地定義對一般連續鞅的隨機積分、並估計兩個積分之差的工具。它支撐著不完備市場二次避險中所用的正交（久保田-渡邊／加爾楚克-久保田-渡邊）分解，那裡把一個請求權投影到可達積分的空間上，而此不等式保證投影定義良好。誠實的提醒：(1) 不等式是關於協變差測度的，積分形式要求 H, K 可料且相關積分有限。(2) 如同柯西-施瓦茲，它是不等式而非等式；唯有在退化的對齊情形（沿協變差支撐 K 與 H 成比例）才取等號。(3) 它是對局部鞅／其積分部分陳述的；對完整半鞅則套用於其鞅分量，因有界變差部分與一切的協變差皆為零。
界定對同一布朗運動 B 的兩個伊藤積分的協變差：M = integral H dB、N = integral K dB。此處 d[M] = H^2 dt、d[N] = K^2 dt、d[M, N] = HK dt，故久保田-渡邊寫成 | integral_0^t H_s K_s ds | <= ( integral_0^t H_s^2 ds )^{1/2} ( integral_0^t K_s^2 ds )^{1/2}——這不過是 L^2[0, t] 中普通的柯西-施瓦茲不等式，作為隨機陳述的特例還原而得。
久保田-渡邊是協變差的柯西-施瓦茲；對共用的布朗運動，它退化為普通的 L^2 柯西-施瓦茲。
它是不等式而非等式，且是對鞅部分陳述的（有限變差部分的協變差為零）；積分形式需要可料積分子，並以 d[M]、d[N]（而非勒貝格時間）為參考測度。