對連續局部鞅的積分（integral against a continuous local martingale）
布朗運動只是第一個積分子。隨機分析真正需要對任意連續局部鞅 M 積分，因為你建構出的積分（以及 SDE 的解）本身就是局部鞅，而你又想反過來對它們積分。這個建構幾乎逐字推廣布朗情形，唯一的改變是把時鐘 dt 換成遞增過程 d[M]，即 M 的二次變差。正是這一步讓理論封閉而自足。
做法是同樣的三步擴展。對具二次變差 [M] 的連續局部鞅 M 與可料積分子 H，積分 integral_0^t H dM 先在簡單積分子上以有限和 sum xi_k (M_{t_{k+1}} - M_{t_k}) 定義；它滿足推廣的伊藤等距 E[ (integral_0^T H dM)^2 ] = E[ integral_0^T H_s^2 d[M]_s ]，此處相關的 L^2 空間如今是 L^2(d[M] x dP)——滿足 E[ integral_0^T H^2 d[M] ] < infinity 的可料過程 H。簡單積分子的稠密性加上完備性，把積分擴展到整個空間，而局部化（在 integral H^2 d[M] 達到 n 時停止）再把它擴展到所有幾乎必然 integral_0^T H^2 d[M] < infinity 的可料 H。所得過程 N_t = integral_0^t H dM 仍是連續局部鞅，N_0 = 0、二次變差 [N]_t = integral_0^t H_s^2 d[M]_s；更一般地 [integral H dM, integral K dM'] = integral H K d[M, M']。整套微積分——伊藤公式、乘積律、BDG 不等式——都以 [M] 取代 t 運作。
這是從「對布朗運動積分」通往「對任何冒出來的東西積分」的橋樑。連續半鞅依定義即連續局部鞅加連續有界變差過程；以此建構對局部鞅部分積分、以普通勒貝格-斯蒂爾傑斯積分對有界變差部分積分，兩者合起來便是完整的半鞅積分。誠實的提醒：(1) 輸出是局部鞅，未必是真正的鞅——正如布朗情形，把它升級為鞅的是 H 對 d[M] 在期望意義下的平方可積。(2) 積分子必須可料且對 d[M] 可積；相關範數用的是 [M] 而非勒貝格時間，故同一積分子對某個鞅可行、對另一個未必。(3) 由於 M 本身可能是嚴格局部鞅，即便 H 有界，積分仍可能是嚴格局部鞅，故「integral H dM 是鞅」是需要證明（一個局部化序列加一致可積）的陳述，而非理所當然。
令 M 為具 [M]_t = t 的連續局部鞅（由李維刻畫，它就是布朗運動）。取 H_s = 1_{(a, b]}(s)。則 integral_0^t H dM = M_{t and b} - M_{t and a}，其二次變差為 integral_0^t H^2 d[M] = (b and t) - (a and t)——與布朗情形相同的以時間為時鐘的行為，如今透過 [M] 而非假設來證成。對一般的 M，把 [M]_t = t 換成嚴格遞增的 [M]，只是把積分藉以累積變差的時鐘重新參數化。
對 M 積分，就是把布朗運動積分中的時鐘 dt 換成 d[M]。
積分子的 L^2 範數是對 d[M] 而非勒貝格時間取的，且輸出是局部鞅；要把它提升為真正的鞅，仍需 E[integral H^2 d[M]] < infinity（或一個一致可積論證），因為 M 本身可能是嚴格局部鞅。