小平消失定理（Kodaira vanishing theorem）
/ koh-DYE-rah /
上同調群是阻礙：一個非零的高階上同調群通常標誌著某方程無解、或某截面無法延拓。小平消失定理是一個強有力的保證：在正性假設下，那些造成阻礙的高階群乾脆為零。它正是把「正」線叢這個幾何概念，轉化為具體地產出全純截面的能力之引擎，並支撐整個射影嵌入的故事。
精確地說，設 M 是複維數為 n 的緊凱勒（尤其是射影）流形，K_M 是它的典範線叢（全純餘切叢的最高次外冪），L 是一個正線叢——它容許一個埃爾米特度量，其陳曲率是正的 (1,1)-形式，等價地說其第一陳類含有一個凱勒形式。則上同調群 H^q(M, K_M 張量 L) 對所有 q >= 1 消失。一個等價且常用的形式：只要 L 張量（K_M 的對偶）為正（即 L「足夠正」），就有 H^q(M, L) = 0（q >= 1）。其證明是博赫納型論證：凱勒恆等式把相關的拉普拉斯算子化為一個顯然非負的項與一個曲率項之和，而正性使曲率項嚴格為正，逼使調和代表元——因而上同調——消失。
它為何重要：高階上同調的消失正是使黎曼-羅赫可計算之處（歐拉示性數塌縮為整體截面的維數），也是餵養小平嵌入定理的關鍵——正叢高次冪的足夠多截面把流形嵌入射影空間。關鍵的誠實提醒：正性不可或缺、不能拋棄（平坦或負的叢一般有非零高階上同調），且此定理在正特徵中確實失效——雷諾構造了反例——所以小平消失是複（特徵零、凱勒）幾何的定理，而非形式的代數恆等式。
在 CP^n 上，叢 O(k) 恰當 k > 0 時為正。典範叢是 K = O(-n-1)。小平消失於是給出：只要 k > -n-1，就有 H^q(CP^n, O(k)) = 0（所有 q >= 1），這與射影空間上 O(k) 的高階上同調除非 k 非常負否則消失的明確事實相符。
在 CP^n 上，O(k) 的正性（k > 0）逼使 O(k) 的所有高階上同調消失。
兩個不可商量的提醒：叢的正性不可或缺（去掉它高階上同調便重現），且此定理在正特徵中為假（雷諾的反例）。它是複／凱勒、特徵零的定理。