陳聯絡（Chern connection）
/ CHERN, also 'churn' /
若你在全純向量叢的纖維上裝上一個長度概念——一個埃爾米特度量——你會想要一種對截面求導的方式，既與那個長度相容（使長度在平行移動下守規矩），又與複結構相容（使求導尊重全純性）。在實黎曼流形上，類似的要求唯一地挑出列維-奇維塔聯絡。陳聯絡正是複幾何中對應的版本：唯一同時與埃爾米特度量及全純結構相容的聯絡。
精確地說，設 E 是配有埃爾米特度量 h 的全純向量叢。E 上的聯絡 nabla 分裂成 (1,0) 部分與 (0,1) 部分。陳聯絡是唯一滿足以下兩條件的聯絡：(i) 與 h 相容，即內積的 d 等於把兩個變元各自協變求導後的內積之和；(ii) 其 (0,1) 部分等於全純結構的算子 partial-bar。條件 (i) 與 (ii) 恰好把聯絡超定到使其唯一。在度量矩陣為 H 的局部全純標架中，聯絡 1-形式為 theta = H^{-1} partial H，曲率是 (1,1)-形式 F = partial-bar(H^{-1} partial H)。對局部度量為 e^{-phi}（單一正函數）的線叢，曲率就是 F = partial partial-bar phi，這是本學科最根本的局部公式。
它為何重要：陳聯絡的曲率（至一個普適常數）代表第一陳類 c_1(E)（陳-韋伊理論），所以曲率字面上就在計算一個拓樸不變量。對線叢而言，此曲率作為 (1,1)-形式的正性 (i)F > 0，正是「正線叢」的精確含義，也是小平消失定理與嵌入定理的前提。一個常見混淆：把陳聯絡視為底下實切叢上的聯絡時，它一般有非零撓率，而它與列維-奇維塔聯絡重合僅在凱勒情形——那個重合事實上正是凱勒的若干等價定義之一。
取 CP^1 上的 O(-1)，配以由 C^2 標準內積誘導的度量：在座標為 z 的圖卡中，度量為 h = 1 + |z|^2，故 phi = log(1 + |z|^2)。陳曲率為 F = partial partial-bar phi = dz ^ d(z-bar) / (1 + |z|^2)^2。把 (i/2pi)F 在 CP^1 上積分得 -1，這恰是次數 c_1(O(-1)) = -1。
曲率積分出陳數：(i/2pi) 把 F 在 CP^1 上積分得 c_1(O(-1)) = -1。
陳聯絡與列維-奇維塔聯絡相等，僅當度量是凱勒的。一般而言兩者不同（陳聯絡在實切叢上有撓率），故在非凱勒情形別假設兩者曲率重合。