卡爾曼濾波（線性代數視角）

卡爾曼濾波從帶雜訊的測量中估計一個運動系統的隱藏狀態，每當新資料到來就更新它的最佳猜測。想像在雷達上追蹤一架飛機：你預測它應在何處，看到一個帶雜訊的光點，再按你對各方的信任程度把兩者融合。整套舞步都是矩陣運算。

它攜帶兩個對象：狀態估計 x_hat（你的最佳猜測）與協方差 P（你有多不確定，是一個矩陣）。預測步通過動力學 A 把兩者向前推進：x_hat -> A x_hat，P -> A P A^T + Q，加入過程雜訊 Q。更新步通過觀測矩陣 H 納入測量 z，並用卡爾曼增益 K = P H^T (H P H^T + R)^-1 加權，其中 R 是測量雜訊。

深層要點是它就是遞迴最小二乘：每一步求解預測與測量的加權最小二乘融合，但不重擬合全部歷史，而是更新滾動的估計及其協方差。增益 K 恰是最優折衷；協方差更新 P -> (I - K H) P 是純線性代數，刻畫新資料把不確定性橢球縮小了多少。

為何重要：凡運動遇上感測器之處皆有卡爾曼濾波，從 GPS、太空船導航到機器人與金融。警示：它僅對線性動力學與高斯雜訊可證最優；真實系統需要擴展（擴展型或無跡卡爾曼濾波），而估計的好壞取決於你給定的雜訊協方差 Q 與 R。