凱勒恆等式（Kähler identities）
/ KAY-ler /
在任何複流形上，你有若干一階算子（partial、partial-bar 及它們的伴隨），還有把凱勒形式楔上去的萊夫謝茨算子 L 及其伴隨 Lambda。在一般複流形上，這些算子的交互作用很複雜。凱勒條件的奇蹟在於它逼使這些算子滿足一小組乾淨的交換關係——凱勒恆等式——而從這寥寥幾條關係，緊凱勒流形的整套霍奇理論幾乎機械地展開。
精確地說，在凱勒流形上，基本恆等式（在一種常見約定下）為：交換子 [Lambda, partial-bar] = -i 乘以（partial 的伴隨），而 [Lambda, partial] = i 乘以（partial-bar 的伴隨），其中 Lambda 是萊夫謝茨算子 L（楔上 omega）的伴隨。最具後果的單一推論是三個自然的拉普拉斯算子至一個因子重合：德拉姆拉普拉斯、partial-拉普拉斯、partial-bar-拉普拉斯滿足 Delta_d = 2 Delta_partial = 2 Delta_{partial-bar}。在一般複（非凱勒）流形上，這三個拉普拉斯算子是貨真價實不同的算子，整套乾淨的理論隨之崩塌。
它為何重要：因為 d-拉普拉斯等於（兩倍的）partial-bar-拉普拉斯，一個形式對其一調和當且僅當對另一調和；又因 partial-bar-拉普拉斯保持雙次數 (p,q)，調和代表元——因而上同調類——便按型別乾淨地分裂。這正是緊凱勒流形上霍奇分解、霍奇對稱與強萊夫謝茨背後的引擎。一點提醒：這些恆等式是局部的（它們由 d omega = 0 逐點成立），但其戲劇性的上同調後果需要緊性，那時霍奇理論提供唯一的調和代表元。各教科書對符號以及 2、i、4pi 等因子的約定各異——引用公式前務必先釘死約定。
一行話的回報：在緊凱勒流形上，Delta_d = 2 Delta_{partial-bar}。由於 Delta_{partial-bar} 不混雜 (p,q) 型，d-調和 k-形式的空間裂成所有 p+q=k 的 (p,q)-調和形式之直和。把調和形式等同於上同調類，便直接得到霍奇分解 H^k = sum over p+q=k of H^{p,q}。
這些恆等式逼使 Delta_d = 2 Delta_{partial-bar}，雙次數的保持隨即把上同調按型別分裂。
三個拉普拉斯算子相等恰恰是非凱勒複流形上失效之處；使霍奇理論奏效的是凱勒條件 d omega = 0，而非僅是複性。符號與因子約定因書而異。