霍奇對稱（Hodge symmetry）
/ HODGE rhymes with 'dodge' /
尋常拓樸給空間配上貝蒂數 b_k，計數獨立的 k 維洞。在緊凱勒流形上，這些洞帶有額外結構：每個洞還可按它有多「全純」對多「反全純」進一步分類，給出一組更精細的數，稱為霍奇數 h^{p,q}。霍奇對稱就是這個優雅的陳述：這張精細的表內建一種鏡像對稱——對調全純與反全純的計數，它保持不變。
精確地說，在緊凱勒流形上，複係數的德拉姆上同調分解為直和 H^k(M, C) = sum over p+q=k of H^{p,q}(M)，其中 H^{p,q} 是雙次數 (p,q) 的多爾博上同調；H^{p,q} 的維數就是霍奇數 h^{p,q}。霍奇對稱主張兩件事：第一，這個分解確實存在（霍奇分解）；第二，複共軛給出同構 H^{p,q} 同構於 H^{q,p} 的共軛，故 h^{p,q} = h^{q,p}。一個推論是第 k 個貝蒂數等於所有 p+q=k 的 h^{p,q} 之和；另一個，結合塞爾對偶，是完整的菱形對稱 h^{p,q} = h^{q,p} = h^{n-p,n-q}。一個著名推論：每個奇數貝蒂數 b_{2m+1} 都是偶數，因為它等於 p<q 且 p+q 為奇的 h^{p,q} 之和的兩倍。
這是凱勒與非凱勒複幾何之間最鋒利的分界線之一。其證明完全建立在凱勒恆等式上，後者使 d-拉普拉斯與 partial-bar-拉普拉斯一致，從而調和形式按型別分裂。誠實的提醒至關重要：霍奇對稱在非凱勒的緊複流形上可能失效——霍普夫曲面有 b_1 = 1（奇數），這對凱勒流形是斷然不可能的，且其霍奇數並不對稱。所以每當你援引 h^{p,q} = h^{q,p}，你都在默默使用凱勒假設。
對虧格為 g 的緊黎曼曲面，次數 1 的霍奇菱形為 h^{1,0} = h^{0,1} = g，而霍奇對稱 h^{1,0} = h^{0,1} 只是說全純 1-形式與其共軛有相同維數 g。貝蒂數 b_1 = h^{1,0} + h^{0,1} = 2g 為偶數，正如任何凱勒流形所必須。
在虧格 g 的曲線上，h^{1,0} = h^{0,1} = g，逼使 b_1 = 2g 為偶。
霍奇對稱是凱勒定理，不是一般複定理。霍普夫曲面（b_1 = 1，奇）徹底違反它，證實了「是複流形」並不夠——你確實需要 d omega = 0。