多爾博上同調（Dolbeault cohomology）
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德拉姆上同調用算子 d 衡量「閉形式（無邊界）」與「恰當形式（已是邊界）」之間的差距。多爾博上同調做同樣的事，但改用算子 partial-bar 取代 d，並按雙次數加以細化。它捕捉求解 del-bar 方程 partial-bar u = f 的阻礙，是複流形的自然上同調——德拉姆理論的全純對應物。
精確地說，固定雙次數 p。由於 partial-bar^2 = 0，對每個 p，q = 0, 1, 2, ... 的 (p,q)-形式空間構成一個複形（多爾博複形），其在次數 q 的上同調為 H^{p,q}(M) = (partial-bar 閉的 (p,q)-形式) 模 (partial-bar 恰當的)，即在雙次數 (p,q) 處的 ker(partial-bar) / image(partial-bar)。p = 0 的情形特別：H^{0,0} 是全純函數，更一般地 H^{p,0} 是整體全純 p-形式的空間。依多爾博定理，H^{p,q}(M) 典範同構於全純 p-形式層的層上同調 H^q(M, Omega^p)——這正是讓分析學家用形式計算、代數幾何學家用層計算而得到相同答案的橋樑。
在緊複流形上，這些群是有限維的，其維數 h^{p,q} 就是霍奇數，常排成霍奇菱形展示。在緊凱勒流形上，霍奇分解把它們與尋常拓樸聯繫起來：第 k 個貝蒂數是所有 p+q=k 的 h^{p,q} 之和，而霍奇對稱給出 h^{p,q} = h^{q,p}。一個關鍵的誠實要點：這種與德拉姆／貝蒂數的乾淨關係是凱勒情形所特有的。在一般的緊複流形上（例如霍普夫曲面），霍奇數未必加總成貝蒂數，且對稱 h^{p,q} = h^{q,p} 可能失效——在那裡多爾博上同調確實比德拉姆上同調更精細、更微妙。
對複射影空間 CP^n，霍奇數為 h^{p,p} = 1（當 0 <= p <= n）且 h^{p,q} = 0（當 p 不等於 q）。所以唯一非零的多爾博群落在霍奇菱形的對角線上，這與 CP^n 的偶數貝蒂數全為 1、奇數貝蒂數全為 0 的事實相符。
CP^n 的霍奇菱形：主對角線上各一個 1，其餘為零。
「貝蒂數 = 霍奇數之和，且 h^{p,q} = h^{q,p}」這條漂亮的聯繫是凱勒定理，不是一般複流形的事實。在非凱勒複流形上它可能徹底失效。