反演映射 1/z（the inversion map）

反演映射是 f(z) = 1/z，即倒數。用極式來看，若 z = r e^(i theta) 則 1/z = (1/r) e^(-i theta)。所以它做兩件事：把到原點的距離取倒（距離 r 的點去到距離 1/r），並沿實軸反射（角度變號）。遠處的點被拉近、原點附近的點被甩遠，而單位圓 |z| = 1 映到自身。

它的招牌性質是把直線與圓送到直線與圓——前提是你同意把直線看成「過無窮遠點的圓」。不過原點的圓映到另一個圓；過原點的圓映到一條直線；過原點的直線映到直線；不過原點的直線映到過原點的圓。要求像，就把 z = 1/w 代入曲線方程式再化簡。原點本身沒有像（你算不出 1/0），這正是為什麼這映射最好在黎曼球面上理解，在那裡 0 映到無窮、無窮映到 0。

反演在遠離原點處共形，並且是和平移、旋轉縮放一起、組裝出每一個莫比烏斯變換的基本積木之一。它保圓的魔法，使莫比烏斯映射成為搬動圓盤、半平面與圓弧的自然語言，也是物理與積分計算中許多巧妙變數代換背後的引擎。