圓反演（inversion in a circle）

對直線的反射把每個點翻到另一側，保持它到直線的距離。圓反演是這個想法的彎曲版近親：它把一個圓「裡外翻轉」，把內部與外部對調，使靠近圓心的點飛到遠處、遠處的點擠到圓心附近，全都沿著從圓心出發的直射線進行。它是共形幾何在熟悉的滑動、旋轉、縮放之外，唯一真正新增的變換。

以下是精確的規則，而且容易計算。固定一個圓，圓心 O、半徑 r。要反演一點 P（O 除外），沿從 O 過 P 的射線前進，在同一條射線上找出點 P'，使它到 O 的距離滿足 |OP| 乘 |OP'| = r^2。所以若 P 到 O 的距離為 3 且 r = 6，則 P' 在同一側、距離為 36 除以 3，即 12：近點映到遠點、反之亦然。恰落在圓上（距離 r）的點原地不動，因為 r 乘 r 等於 r^2。圓心 O 在普通平面上沒有像——它得跑到無限遠——這正是為何反演要在反演平面上研究，在那裡 O 映到無窮遠點。反演有三項招牌性質：它自身就是還原（反演兩次就回到原處），它是共形的（保持任意兩條曲線之間的角，儘管它使其定向反向），且它把「直線與圓」這個族送回自身——通過 O 的圓變成直線、不通過 O 的圓變成另一個圓、直線變成通過 O 的圓。

反演是莫比烏斯幾何背後的引擎：每個莫比烏斯變換都是反演、旋轉、平移、縮放的合成，所以反演之於共形幾何，正如反射之於歐氏幾何。它也是銳利的解題工具——許多關於相切圓的難題，在精選的一次反演把圓拉直成線之後就變得容易。兩點告誡。第一，反演不等於縮放：它拉伸長度的倍率取決於點離圓心多遠，所以它在保角的同時仍扭曲形狀。第二，別期待它保持圓心：圓的像是圓，但原圓心的像一般不是像圓的圓心。