點對圓的冪

任取一個固定點與一個圓，過該點畫一條與圓相交的直線。它會在兩處與圓相交（若恰好相切，則一處）。把你的點到那兩個交點的兩段距離相乘，小奇蹟便發生了：無論你選過該點的哪一條直線，得到的乘積都相同。這個固定的乘積就是該點對圓的冪。

精確地說，點 P 對於圓心 O、半徑 r 的圓的冪，是數值 |OP|^2 - r^2，它等於 P 到過 P 的任一直線與圓的兩個交點之距離的帶號乘積。這一個想法統合了三個中學定理。若兩弦在圓內 P 處相交，把一弦分成 a、b 兩段、另一弦分成 c、d 兩段，則 a·b = c·d（相交弦定理）。若從外點 P 畫兩條割線，則（第一條整割線）·（其外段）=（第二條整割線）·（其外段）。若從外點畫一割線與一切線，則切線長平方等於割線整段乘外段：t^2 =（整割線）·（外段）——切割線定理。對外點所有乘積皆正（冪為正）；對內部的點，冪為負，這正是為何圓內（相交弦）版本以兩段都取正長來敘述。

點對圓的冪是圓的幾何中偉大的統整思想之一：它一舉證出三個乘積關係，刻劃四點何時共圓（冪相等／根軸），並支撐三圓的根心。值得點出的提醒：乘積相同只對過同一點、同一圓的直線成立；切線情形是兩交點合而為一的極限割線，所以「整段乘外段」變成「切線平方」；而符號慣例很重要——冪在圓外為正、恰在圓上為零、在圓內為負，所以若只說成赤裸的「乘積」而不顧內外，可能會弄錯一個正負號。