解析即與 z-bar 無關

這是本學科最令人難忘的一句口號：函數恰在它不依賴 z-bar 時才解析。若你能僅用 z（與常數）寫出你的函數——絕不使用 z-bar、不使用 |z|、不使用 Re z 或 Im z（除非透過 z 本身）——則它解析。一旦真正的 z-bar 偷偷溜入，解析性就喪失。

用 Wirtinger 導數講精確，就是 df/dz-bar = 0。因 x = (z + z-bar)/2、y = (z - z-bar)/(2i)，任何 (x, y) 的函數都可改寫為 z 與 z-bar 的函數；口號是說，解析函數恰是那些 z-bar 變數實際上不出現者。故 z^2、e^z、1/(z - 3) 解析，而 z-bar、|z|^2 = z 乘 z-bar、Re z = (z + z-bar)/2、z 乘 z-bar^2 則否——每個都明顯含有 z-bar。

這是一個真正有用的初步檢驗，也深刻說明「為何複可微如此受限」：平面上一般的光滑映射可自由混用 z 與 z-bar（它有兩個自由度，df/dz 與 df/dz-bar），但解析性藉強制 df/dz-bar = 0 丟掉其中一半。那唯一被丟棄的方向正是一切剛性的源頭——保角、調和、恆等定理，無一例外。只須記得這是簡寫：z 與 z-bar 並非字面上獨立，故「沒有 z-bar 出現」真正的意思是算子方程 df/dz-bar = 0。