齊次座標（homogeneous coordinates）

尋常的 (x, y) 座標能為平面上每個點命名，唯獨新增的無窮遠點除外——並沒有一對有限的數能代表「斜率 2 的方向」。齊次座標以一個巧妙的把戲修補此事：用三個數而非兩個來為每個點命名，並約定把三個數同乘以一個非零因子後仍指同一個點。這唯一的約定讓普通點與無窮遠點共用一套統一的記號。

做法如下。把一個點寫成三元組 (x : y : z)，用冒號提醒我們這是一個比值。規則是：對任何非零的 k，(x : y : z) 與 (kx : ky : kz) 指同一個點——故 (2 : 4 : 2)、(1 : 2 : 1) 與 (3 : 6 : 3) 全是同一個點。換算方式：普通點 (a, b) 化為 (a : b : 1)，反之 z 不為零的 (x : y : z) 是普通點 (x/z, y/z)。z = 0 的三元組恰是無窮遠點：(x : y : 0) 是斜率 y/x 方向的無窮遠點。三元組 (0 : 0 : 0) 被禁止——它什麼都不指。線也照此辦理：一條線是三元組 [a : b : c]，代表方程式 a x + b y + c z = 0，而點 (x : y : z) 落在其上，恰當 a x + b y + c z = 0。

為何二維平面要用三個數？因為第三個座標是記帳用的「尺度」裝置，換來兩樣無價之物：每個點都有名字（包括 z = 0 的無窮遠點），而點與線的方程式變得完美對稱——兩者都是三元組，都由唯一的關係 a x + b y + c z = 0 連繫。這份對稱正是對偶的代數核心。代價甚小：一個點不再有單一固定的三元組，而是整整一個比值類，故你必須恆以「至多差一個尺度」的方式推理三元組，絕不可直接比較原始數字。