高階參數變易法（variation of parameters at higher order）

待定係數法與消去算子法很快，但它們只處理一份簡短的外力菜單——多項式、指數、正弦與餘弦。當外力是 sec x、ln x 或 1/x，或當係數變動以致根本沒有特徵多項式時，你該怎麼辦？參數變易法是萬用工具，無論外力為何，總能從齊次解造出一個特解。在高階它的運作與二階完全相同，只是部件更多。

想法是：從齊次方程的一組基本解系 y1、...、yn 出發，其通解為 c1 y1 + ... + cn yn。現在讓常數變動——把每個 ck 換成函數 uk(x)——並尋求特解 y_p = u1 y1 + ... + un yn。這是每個解一個未知數、共 n 個未知數，所以你需要 n 個方程。這個構造施加 n-1 個方便的條件（uk 的導數，以 yk 及其導數加權，在每一階直到 n-2 都抵消），加上最後一個方程：最高階導數須滿足 L[y_p] = g。合起來給出關於 u1'、...、un' 的線性系統，其係數矩陣恰是朗斯基矩陣。求解（例如用克拉默法則）給出每個 uk' 為行列式之比，積分回去復原 uk。組裝 y_p。

參數變易法之所以重要，是因為它具普遍性：它只需要一組基本解系與一個可積的外力，所以涵蓋了快速方法做不到的情形，並且也適用於變係數。誠實的代價是實在的。公式留給你的積分可能無法以閉式完成——參數變易法保證特解為一個積分，但未必是初等的——而高階的記帳、n 個方程加一整個朗斯基行列式，相當繁重。能用快速方法時就用；用不了時才取參數變易法。