聽出鼓的形狀（hearing the shape of a drum）

當鼓振動時它發出一組純音——它的頻率譜。馬克·卡茨（Mark Kac）在一篇 1966 年正以此為題的著名文章中問道，你能否把實驗倒過來做：若你知道一面鼓發出的所有頻率，你能推斷它的形狀嗎？用數學語言說，拉普拉斯算子的譜是否在等距意義下決定流形（或平面區域）？這是譜幾何的招牌問題，而令人意外的答案是否定的。

具體地說，兩個黎曼流形是同譜的，若它們的拉普拉斯-貝爾特拉米算子有完全相同的特徵值列、且重數相同（同一組純音）。問題在於同譜是否迫使等距。譜決定了相當多東西：僅從特徵值，透過熱核漸近展開 sum e^{-lambda_k t} ~ (4 pi t)^{-n/2} (體積 + t *（一個曲率積分）+ ...)，你能讀出維數、總體積以及純量曲率的積分；外爾定律從計數函數還原維數與體積。但完整的形狀並未被決定。1964 年米爾諾（Milnor）造出兩個同譜卻不等距的平直 16 維環面，1992 年戈登、韋伯與沃爾珀特（Gordon-Webb-Wolpert）在平面上建出兩面確實不同、卻聽起來完全相同的平直多邊形鼓——對卡茨字面問題乾淨而初等的「否」。

這個故事完美地教導了分析對幾何記得多少、又遺忘多少。譜是一個豐富的不變量——足以釘住維數、體積與曲率平均，足以使「逆譜幾何」成為一門深刻的領域——但它遺忘了部分形狀資訊，從聲音重建幾何一般而言是不可能的。誠實的提醒：那些反例是特殊的（平直環面、多邊形撞球台）並利用對稱，而在額外假設下（解析性、一般度量、某些對稱約束）有時終究能聽出形狀。又，「相同的頻率」必須意味著相同的特徵值且計重數；較弱的匹配決定得更少。故精確的陳述是：拉普拉斯譜決定許多幾何不變量，但一般而言不決定等距類。