哈納克原理（Harnack's principle）

把調和函數按遞增順序疊起來——每一個處處至少和前一個一樣大——並問它們的極限長什麼樣。哈納克原理給出一個乾淨的二分：要嘛極限在每塊緊緻片上一致地衝向無窮，要嘛它安定成一個完美的調和函數。沒有中間地帶，沒有那種這裡有限、那裡無窮、糾纏不清的破碎極限。

精確陳述：設 u_1 <= u_2 <= u_3 <= ... 是連通區域 D 上一列遞增的調和函數。則恰好發生兩件事之一。要嘛 u_n(z) -> +無窮在 D 的每個緊緻子集上一致成立，要嘛 u_n（在緊緻子集上一致地）收斂到一個極限函數 u，而 u 本身在 D 上調和。其機制是把哈納克不等式用在非負差 u_n - u_m 上：正性迫使該序列在任何緊緻集上同步地增長或收斂，所以單一點的收斂便散布為處處收斂，而調和函數在緊緻集上的一致極限是調和的。

這正是使求解狄利克雷問題的佩龍方法得以運作的精確工具：在那裡人們把解建構成一族次調和函數的上確界（一種遞增極限），而哈納克原理正是保證所得候選確實是調和、而非僅僅某個毫無結構之極限的東西。它是那些使解析函數的極限保持解析的定理（魏爾斯特拉斯、蒙泰爾）的調和函數類比。一個值得強調的點：單調性是必要的——沒有遞增（或遞減）的假設，調和函數的極限未必調和，乾淨的二者擇一也隨之崩潰。