佩龍方法（Perron method）
/ peh-ROHN /
帕松公式解圓盤上的狄利克雷問題，共形映射則把那個解搬到任何你能映到圓盤上的區域。但許多區域太粗糙或在拓撲上太彆扭，無法用乾淨的公式映射。佩龍方法是在出乎意料地一般的區域上解狄利克雷問題的優雅、無公式之道：它把調和解建構成所有停留在邊界資料之下的次調和函數的最小上包絡。
以下把方法走一遍。設 D 是有界區域、g 是其邊界上的連續函數。組成佩龍族：所有在 D 上次調和、且在每個邊界點的邊界上極限上界至多為 g 的函數 v。此族很豐富（它至少含等於 g 之最小值的常數）且有彈性（兩個成員的最大值仍是成員，而且你可以在任何圓盤上把某成員換成它的調和「提升」）。現在定義 u(z) = 所有族中 v 在 z 處之值 v(z) 的上確界。用哈納克原理證明的奇蹟是：這個逐點上確界 u 在 D 內部自動是調和的——次調和的競爭者頂著一個看不見的調和天花板往上推，而 u 就是那個天花板。於是內部調和函數的存在性一舉解決，對本質上任何區域都成立。
佩龍方法乾淨地把過去糾纏在一起的兩項工作分開。在內部取得一個調和函數是容易的一部分，對任何有界區域都行得通。困難、真正幾何性的一部分是 u 是否確實在給定邊界點連續地取得邊界值 g；這恰好在正則邊界點上成功，即那些擁有障壁的點。誠實的總結：佩龍永遠產生一個調和的內部候選，但它是否在邊界上解出狄利克雷問題（在那裡取得正確的值）可能在非正則點失敗，如一個孤立穿孔或一個向內的尖點——而偵測這些點正是障壁的用途。
在去心圓盤 0 < |z| < 1 上，外圓邊界資料為 0、穿孔 z = 0 處為 1，佩龍方法給出調和內部解 u 恆等於 0——它忽略那個孤立穿孔，後者是一個沒有障壁的非正則（可去）邊界點。
佩龍在此仍造出調和內部，但孤立穿孔處的值未被取得——該點是非正則的。
佩龍以 Oskar Perron 命名。它的長處是把存在性（總是成立）與邊界值的取得（只在正則點）解耦；它本身並不告訴你哪些邊界點是正則的——那需要你給出一個障壁。