格羅莫夫-豪斯多夫距離（Gromov-Hausdorff distance）
/ GROH-mof HOWS-dorf /
即使兩個形狀活在不同的世界、並非任何共同空間的子集，你要怎麼說它們「幾乎是同一個形狀」？想像一張細密的三角網格與它逼近的光滑曲面：它們是不同的度量空間，但隨著網格加密應當收斂。格羅莫夫-豪斯多夫距離是一種衡量兩個度量空間作為抽象形狀相距多遠的方法，使這種收斂有精確意義。它把所有緊度量空間的全體變成它自身的一個大度量空間。
它分兩步建立。首先，共同度量空間中兩子集 A, B 的豪斯多夫距離 d_H(A, B) 衡量最壞情形的不匹配：它是使 A 落在 B 的 r 鄰域內、且 B 落在 A 的 r 鄰域內的最小 r。其次，由於兩個抽象空間 X 與 Y 沒有共同的環繞空間，你就造一個：格羅莫夫-豪斯多夫距離 d_GH(X, Y) 是對 X 與 Y 到某共同度量空間 Z 的所有等距嵌入，取其像之間豪斯多夫距離的下確界。等價且更實用地，d_GH(X, Y) 可（差一個因子 2）透過對應來計算：把 X 與 Y 的點配對，使配對距離相差盡可能小，並極小化那個最壞畸變。兩空間相距 0 恰好就是它們等距。
格羅莫夫-豪斯多夫收斂是一種語言，讓「一列空間收斂到一個極限空間」在沒有任何共同嵌入下也說得通；格羅莫夫緊性定理說，一族緊空間若直徑一致有界、且覆蓋它們所需的小球數有一致上界（一致全有界），則它是預緊的——每列都有收斂子列。這正是取流形極限的引擎：把群的凱萊圖重新縮放並讓尺度趨於零，得到它的漸近錐；坍縮或退化的黎曼度量產生可能奇異的 GH 極限。一個告誡：光滑流形的極限未必是流形——它可能是更低維或奇異的度量空間——而曲率界（下有界的亞歷山德羅夫，或下有界的里奇）正是控制極限能多狂野的東西。
考慮一列內接於半徑 1 圓中、邊數越來越多的正多邊形，各自賦予內蘊（沿邊弧長）度量。當邊數 n -> 無窮時，這些多邊形依格羅莫夫-豪斯多夫距離收斂到帶弧長度量的圓。它們起初並不處於同一空間，但顯然的近等距對應使距離畸變趨於 0，於是 d_GH -> 0。極限正是光滑的圓。
逼近圓的多邊形在格羅莫夫-豪斯多夫度量下收斂到它。
流形的格羅莫夫-豪斯多夫極限未必是流形。沒有下曲率界，極限可能坍縮到更低維或產生奇異點，所以「GH 接近球面」本身並不蘊含「就是球面」。