測地度量空間（geodesic metric space）
想像你站在一點，想走到另一點且每次都能真的找到一條最短路線。測地度量空間就是其中任意兩點都確實能用最短路徑連接的度量空間——一條長度恰等於兩點距離的曲線。它是下確界不僅被逼近、而且被達到的長度空間。
把路徑概念說精確：從 x 到 y 的測地線是等距嵌入 gamma: [0, d(x,y)] -> X，滿足 gamma(0) = x、gamma(d(x,y)) = y，也就是對所有 s, t 都有 d(gamma(s), gamma(t)) = |s - t|。這樣的曲線以弧長參數化，且處處是其端點之間的最短路徑；在度量幾何的這種用法中「測地線」意味著整體最短，比黎曼用法（測地線只需局部筆直）更強。當對每對 x, y 都存在這樣的 gamma 時，(X, d) 就是測地度量空間。注意測地線未必唯一——球面南北極之間有無窮多條。
這是曲率比較的主力場域：CAT(k) 與亞歷山德羅夫曲率界的定義都比較由測地線構成的三角形，所以你首先得讓測地線存在。長度空間的霍普夫-里諾定理說，完備且局部緊的長度空間自動是測地的，這正是許多自然例子——完備黎曼流形、群的凱萊圖、有限維 CAT(0) 空間——之所以合格的原因。要當心標準陷阱：沒有局部緊性，僅有完備性是不夠的，一個長度空間可以完備卻仍有一對點沒有最短路徑相連。
根據霍普夫-里諾定理，任何完備黎曼流形都是測地度量空間：任意兩點間都有一條最短測地線。把每條邊賦予長度 1、距離以最短路徑衡量的有限連通圖也是測地的——頂點間的最短走法實現了距離，我們以單位速度沿邊行進。相對地，帶內蘊長度度量的開單位圓盤（不含邊界）是長度空間，但對某些趨近邊界的點對而言不是測地的，而挖去一個內部點會直接破壞測地性。
測地空間：完備流形與圖以真正的最短路徑實現距離；開或挖洞的圓盤則未必。
不要假設測地線唯一。唯一性是一種特殊而強的性質——它在 CAT(0) 空間成立，但在球面與平坦圓柱上失效，那裡同樣兩點可被多條最短路徑連接。