比較三角形（comparison triangle）

假設你在某個彎曲或奇異的空間上畫了一個三角形，想問「這個空間比平坦更彎，還是更不彎？」你無法直接從赤裸的空間讀出曲率。訣竅是造一個替身：取完全相同的三條邊長，在一個已知的模型曲面——平坦平面、球面或雙曲平面——上擺出一個同樣邊長的三角形，再來比較。你在模型中擺出的三角形就是比較三角形，把真實三角形與它對照，正是在沒有導數的空間裡定義曲率的方式。

具體地說，固定一個模型曲率 kappa，令 M_kappa 為常曲率 kappa 的模型曲面：kappa > 0 時為半徑 1/sqrt(kappa) 的球面，kappa = 0 時為歐氏平面，kappa < 0 時為按 1/sqrt(-kappa) 縮放的雙曲平面。給定空間 X 中以 p, q, r 為頂點、邊長 a = d(q,r), b = d(p,r), c = d(p,q) 的測地三角形，比較三角形就是 M_kappa 中邊長相同的三角形 p', q', r'（它存在且在合同意義下唯一，前提是 kappa > 0 時周長夠小）。對真實三角形某一邊上的任一點 x，模型三角形的對應邊上有一個對應點 x'，與端點的距離相同。整套理論便比較這兩點的真實距離 d(x, y) 與模型距離 |x' - y'|。

比較三角形是讓曲率界無須微積分即可陳述的唯一裝置。「曲率上有界於 kappa」（CAT(kappa)）意指真實三角形比其比較三角形更瘦：d(x, y) <= |x' - y'|。「曲率下有界於 kappa」（亞歷山德羅夫）意指真實三角形更胖：d(x, y) >= |x' - y'|。同樣的比較在光滑黎曼世界中給出托波諾戈夫定理，這正是此度量定義是正確推廣的原因。一點警告：kappa > 0 時，比較三角形只在周長小於 2pi/sqrt(kappa)（模型空間的周長）時存在，因此定義限制在大小有界的三角形上。