CAT(0) 空間（CAT(0) space）
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在所有曲率界中，最有用的單一條件是「不比平坦空間更彎」。CAT(0) 空間是一個測地度量空間，其中每個三角形都至少和對應的平坦歐氏三角形一樣瘦。直覺上它是一個處處沒有正曲率的世界——像雙曲平面、樹、平坦薄片，或任何小心黏合而成的組合——而這單一條件強制出驚人的良好行為：唯一測地線、凸距離，與可縮的形狀。
它是 CAT(k) 在 k = 0 的特例，故模型為平坦平面。對 X 中頂點為 p, q, r 的任何測地三角形及其邊上任意點 x, y，有 d(x, y) <= |x' - y'|，其中 x', y' 是歐氏比較三角形的對應點。隨之而來且值得當作實務工作定義的三個事實：(1) 任兩點間有唯一測地線，且連續依賴端點；(2) 距離函數是凸的——取兩條測地線並連接同時刻的點，它們之間的距離是時間的凸函數；(3) 等價地，CN 不等式（布魯阿-蒂茨）：對從 q 到 r 的測地線中點 m，d(p, m)^2 <= d(p,q)^2/2 + d(p,r)^2/2 - d(q,r)^2/4。完備 CAT(0) 空間稱為阿達瑪空間；由度量版卡坦-阿達瑪定理，任何完備、單連通、局部 CAT(0) 的空間整體即為 CAT(0)。
CAT(0) 空間是非正彎曲流形與雙曲平面的度量推廣，並且是幾何群論的核心：在 CAT(0) 空間上良好作用的群（CAT(0) 群）繼承了可解的字問題與強有限性性質。度量的凸性給出一個不動點定理——任何具有界軌道的等距群都固定該軌道唯一的外心（布魯阿-蒂茨不動點定理）——這驅動了剛性論證。最重要的告誡：CAT(0) 嚴格強於格羅莫夫雙曲。CAT(0) 意指相對平坦的瘦三角形；雙曲則指在更粗、大尺度意義下的瘦三角形，並只容許有界大小的平坦片。歐氏平面 R^n 是 CAT(0) 但不是格羅莫夫雙曲——平坦性在 CAT(0) 下被允許，卻在雙曲性下被大尺度排除。
雙曲平面 H^2（處處曲率 -1）是完備 CAT(0) 空間——實則是 CAT(-1)，故亦為 CAT(0)。任兩點由唯一測地線相連，且三角形是瘦的：當你把兩條測地射線分開，它們的間隔增大，而沿兩條測地線對應點之間的距離是參數的凸函數。同樣的凸性使到任一測地線的最近點投影距離不增，這在 CAT(0) 論證中被不斷使用。
雙曲平面是 CAT(0)：唯一測地線，且測地線間距離是凸的。
CAT(0) 與格羅莫夫雙曲不同。R^n 是 CAT(0) 但不雙曲；CAT(0) 控制局部到平坦的曲率，雙曲性則是禁止大平坦的粗大尺度條件。一個空間可以只具其一。