整體吸引子（global attractor）

讓一個耗散的演化方程從許多不同的初始狀態出發，跑上很長的時間。能量逐漸流失，暫態消亡，而最終倖存下來的——長時間行為的最終劇目——塌縮到一個相對小的單一集合上，每條軌跡都被它吸引過去。那個終端集合就是整體吸引子。它是捕捉「動力學最終棲身何處」的幾何物件，是無窮維系統長時間的骨架，也是耗散偏微分方程吸引子理論的核心對象。

精確地說，把解算子看成巴拿赫空間 X 上的半群 S(t)（S(t) u_0 = u(t) 是從 u_0 出發在時刻 t 的狀態）。整體吸引子是 X 中一個集合 Ac，它是緊的、不變的（對所有 t 有 S(t) Ac = Ac——它映到自身，故其上的軌跡前後都永遠留在其上），且具吸引性：對每個有界的初始資料集 B，當 t 趨於無窮時，S(t) B 到 Ac 的距離趨於 0。緊性與吸引性合起來，迫使 Ac 成為這類集合中最小的，並包含所有「永久」的動力學——所有穩態、所有週期軌道，以及它們之間的連接軌跡。標準的存在性配方是：證明半群是耗散的（存在一個有界的吸收集，每條軌道最終都進入它）且漸近緊的（拋物型方程的平滑化使動力學在極限下實質上有限維）；於是吸引子存在，並等於吸收集的 omega-極限集。

它為何重要：整體吸引子把一個無窮維偏微分方程的長時間行為，壓縮進一個緊集中，儘管相空間無窮維，這個集卻常常具有限的分數維——這正是「一個湍流或形成圖案的系統，長遠看來只有有限多個自由度」這句話的嚴格意義。對最簡單的梯度型拋物方程，吸引子就只是穩態集再加上連接它們的異宿軌道，於是研究長時間行為便化約為研究橢圓型穩態問題及其穩定性。當存在譜隙且有唯一的穩定平衡態時，吸引子退化為那單一一點。