吉布斯佯謬

一個悄悄揭示出「必須引入不可分辨性」的謎題。把一個盒子中間的隔板抽走，兩半原本都裝著相同的氣體，處於相同的溫度與壓力。物理上什麼也沒發生，所以熵不該改變。然而素樸的計算卻說混合總是增大熵。計數出了問題。

精確地說，若你把原子當成可分辨來計算理想氣體的熵，會得到一個非廣延的結果，而抽走兩份相同樣品之間的隔板，會預測出一個虛假的混合熵，Delta S = 2 N k_B ln 2 > 0——即使末態在微觀上與初態不可分辨。解方是：全同粒子是真正不可分辨的，因此你必須把微觀態數除以 N!，即排列數。這個 1/N! 使熵成為廣延量，並對相同氣體給出恰好為零的混合熵，導出薩庫爾-特羅德結果。

在歷史上，它是一個決定性的暗示，說明古典統計並不完整，而量子的不可分辨性是真實的，並非記帳上的花招。誠實地說，對真正不同的氣體，混合熵 2 N k_B ln 2 是真實而正確的；此佯謬只關乎相同氣體。而「相同」與「不同」之間那道非黑即白的界線，最終要由量子力學、而非古典物理來解釋。