有空氣阻力的下落物體

在空氣中同時放開一根羽毛和一枚硬幣，硬幣輕鬆勝出；在真空中放開，兩者卻一起落下。差別就在空氣阻力——阻力——這也是為什麼跳傘者不會永遠加速，而是穩定地俯衝。為帶空氣阻力的下落物體建模，是經典的一階牛頓定律問題，並能漂亮地解釋終端速度。

牛頓第二定律說質量乘以加速度等於淨力：m dv/dt = mg −（阻力）。重力以 mg 的力向下拉；阻力向上推且隨速度增大。最簡單而誠實的選擇是阻力與速度成正比，得 m dv/dt = mg − kv，一個一階線性方程。物體加速時，阻力 kv 不斷上升，直到與重力平衡，淨力歸零，加速停止；速度便趨於平緩。對從靜止放開的物體求解得 v(t) = (mg/k)(1 − e^(-(k/m)t))——速度上升並向一個上限趨平。

那個上限就是終端速度 mg/k，此時兩力相消。模型是否誠實，取決於阻力定律：阻力與 v 成正比，對慢速、小型或黏滯的運動是合理的，但對高速的跳傘者，阻力更接近與 v^2 成正比，得 m dv/dt = mg − kv^2——仍是一階，仍有終端速度（此時為 sqrt(mg/k)），但已是非線性。無論哪種，啟示相同：與速度相關的阻力，把「永遠愈落愈快」變成「穩定到某個固定速度」。