鏈的爆炸（explosion of a chain）

爆炸是僅在無限狀態空間上才可能出現的現象：連續時間馬可夫鏈在有限時間內跳躍無窮多次。它是連續時間鏈的核心適定性問題：當你以指定速率來建構鏈時，必須檢查所得過程是否真的對所有時間都有定義，而爆炸正是可能出錯之處。

回顧建構方式：從狀態 i 鏈等待一段速率為 q_i 的指數停留時間，再依跳躍鏈跳躍。令 J_n 為第 n 次跳躍的時刻，定義爆炸時刻 zeta = lim_n J_n = sum_n（第 n 個所訪狀態的停留時間）。若停留速率 q_i 沿實現路徑增長得夠快，這些指數停留時間可能幾乎必然有有限和，故 zeta < 無窮：鏈在有限時間 zeta 之前已跳躍無窮多次，在天真意義下其後便「無定義」。是否發生取決於速率：非爆炸的一個有用充分條件是停留速率有界，sup_i q_i < 無窮，或更精細地（顯式鏈的 Reuter 判準）沿可達路徑 sum 1/q_{i_n} 發散。對出生率為 lambda_n 的純出生過程，非爆炸恰為 sum 1/lambda_n = 無窮；若出生率如 n^(1+epsilon) 增長，族群在有限時間內達到無窮。

爆炸之所以重要，是因為它迫使模型作出抉擇並破壞天真的公式。若鏈爆炸，矩陣指數 e^(tQ) 不一定是隨機的（其列和小於 1，差額為 P(已爆炸)），前向與後向方程可能有多個解，且若無對 zeta 時行為的規則，「該」鏈並不唯一。標準慣例是最小過程：在 zeta 時殺死鏈（送往墳墓態）。也可改為「重啟」它（給定一個邊界分配），得到另一個同樣有效的非最小鏈。誠實的總結：Q 的守恆性（列和為零）不等於非爆炸；你必須驗證速率的某個增長條件。