Q 矩陣（速率矩陣）（Q-matrix / rate matrix）
Q 矩陣，又稱生成元或速率矩陣，是編碼連續時間馬可夫鏈一切資訊的單一物件：它對每一對相異狀態的有序對 (i, j) 列出鏈嘗試從 i 跳到 j 的速率 q_ij。它扮演著離散鏈中轉移矩陣的角色，但在連續時間下，自然的局部描述是速率而非一步機率。生成元是動態的無窮小版本——轉移半群在時間零點的導數。
可數狀態空間上的矩陣 Q = (q_ij) 為 Q 矩陣（守恆生成元）的條件是：非對角元非負，q_ij >= 0（i != j），且每列和為零，q_ii = -sum_{j != i} q_ij <= 0。非對角 q_ij 是 i->j 轉移的速率；q_i = -q_ii 是離開 i 的總速率，即停留速率。與機率的聯繫是無窮小的：當 h -> 0 時，P_h(i,j) = q_ij h + o(h)（i != j），且 P_h(i,i) = 1 + q_ii h + o(h)，故 Q = lim_{h->0} (P_h - I)/h = P'_0。這正是說生成元是 P_t 在 0 點的時間導數。由 Q 可還原一切：停留速率 q_i = -q_ii、跳躍鏈核 K(i,j) = q_ij/q_i、前向與後向科爾莫戈洛夫方程 P'_t = P_t Q = Q P_t，以及（當鏈非爆炸時）轉移函數 P_t = e^(tQ)。
生成元是恰當的描述層次，因為速率以加法複合而機率以乘法複合：疊加獨立的轉移機制只需把它們的 Q 矩陣相加。這正是反應網路、排隊網路與族群模型都以列出速率來指定的原因。無限狀態空間上的微妙處：列和為零（守恆性）並不保證鏈行為良好。若停留速率 q_i 增長過快，由 Q 建出的最小過程可能爆炸，此時 P_t = e^(tQ) 須謹慎詮釋——無界算子的天真矩陣指數不一定是隨機（列和為一）矩陣。對無界生成元而言，e^(tQ) 是真正的算子論陳述，而非逐項收斂的冪級數。
速率 lambda 的卜瓦松過程，視為 {0,1,2,...} 上只往上走的 CTMC，其 Q 滿足 q_{n,n+1} = lambda、q_{n,n} = -lambda，其餘元素皆為 0——是上雙對角生成元。其前向方程 P'_t = P_t Q 恰好重現卜瓦松分配 P_t(0,n) = e^(-lambda t) (lambda t)^n / n!。
直接從生成元讀出 CTMC 的動態：非對角元是跳躍速率，對角是離開總速率的相反數。
守恆性（列和為零）在無限狀態空間上是良好行為的必要而非充分條件：若離開速率 q_i 增長過快，鏈仍可能爆炸，此時 e^(tQ) 不一定是隨機矩陣，生成元須視為無界算子處理。