遍歷分解（ergodic decomposition）
遍歷分解是這樣的結構定理：每個平穩（不變）測度在精確意義下都是遍歷測度的混合。遍歷系統是保測動力的不可分原子，而分解表明非遍歷情形從不真正新穎——它只是遍歷情形的平均。這正是為何大部分理論可不失一般性地專注於遍歷情形。
在良好（標準波萊爾 / 波蘭）空間上固定一個變換 T（或流），考慮所有 T-不變機率測度之集。此集為凸集，其極點恰為遍歷測度：一個不變測度為遍歷，當且僅當它無法寫成兩個相異不變測度的非平凡凸組合。遍歷分解定理（喬凱定理的一種形式）說，對任何不變測度 P，存在遍歷測度集上的一個機率測度，使 P = integral mu d(權重)，即 P = integral P_omega dP(omega)，其中 omega -> P_omega 把幾乎每個點指派給包含它的遍歷分量。動力上，不變 sigma-代數 I 把 Omega 切成遍歷片段；對 I 取條件，P(. given I)(omega) 本身遍歷，再對 I 積分回去即恢復 P。伯克霍夫極限 E[ f given I ] 正是你所處遍歷分量內 f 的空間平均。
此分解重組了整個學科。它讓人把一般定理化約到遍歷情形（對每個分量證明，再積分），給出伯克霍夫非常數極限的正確圖像（即逐分量均值），並且是動力解讀下德菲內蒂定理（可交換序列是獨立同分布序列的混合——遍歷分量的混合）背後的引擎。須尊重的技術假設：乾淨的定理需要空間為標準波萊爾（波蘭），使正則條件機率存在；在病態可測空間上真正的分解可能失敗。但在該標準框架內圖像精確：研究原子（遍歷測度），其餘即平均。
先擲一枚隨機偏度 p ~ Uniform[0,1] 的硬幣，再生成無窮獨立同分布 Bernoulli(p) 序列。所得之律平穩但非遍歷；其遍歷分解為 P = integral_0^1 (Bernoulli(p)^N) dp——每個遍歷分量是固定 p 的獨立同分布序列，樣本頻率收斂到該隨機 p（即 E[ X_1 given I ]），絕不收斂到總體均值 1/2。
非遍歷平穩律作為其遍歷分量的喬凱積分——德菲內蒂定理的動力面貌。
此分解需要標準（波蘭）狀態空間使正則條件機率存在；在病態可測空間上遍歷分量可能無法組裝成真正的測度。在該框架內分量本質上唯一。