不變 sigma-代數（invariant sigma-algebra）
當保測系統永遠運行時，某些事件不受動力改變——軌道要嘛永遠落入其中，要嘛永遠避開它。收集所有這類事件便得到不變 sigma-代數，它是系統守恆資訊的精確載體，也是伯克霍夫定理投影的對象。
集合 A 屬於 F，若 T^(-1) A = A 則稱（嚴格）不變，若 P(T^(-1) A 對稱差 A) = 0（對稱差為零測）則稱幾乎不變。幾乎不變集構成一個 sigma-代數，記為 I（或 J），稱為不變 sigma-代數；在零測意義下兩種概念一致。函數 f 若 f compose T = f 幾乎處處則稱不變，而不變函數恰為 I-可測者。條件期望 E[ f given I ] 是 f 在 L^2 中對不變函數的正交投影；伯克霍夫定理把此投影辨識為時間平均 (1/n) sum_(k=0)^(n-1) f compose T^k 的幾乎必然極限。
遍歷性即 I 平凡的陳述：每個不變集機率為 0 或 1，故唯一的不變函數為常數。此時 E[ f given I ] = E[f]，時間平均收斂到單一數值，即空間平均。因此 I 的大小衡量系統距離遍歷有多遠：非遍歷系統分裂成若干片段（其遍歷分量），而 I 由那些片段的指示函數生成。一個微妙之處：對非可逆 T 而言，T^(-1) 下的不變性與另一套用正向映射的概念可能不同，而與 P 正確互動的版本是「模零不變」。
對位移下的獨立同分布序列，柯爾莫哥洛夫 0-1 律說尾 sigma-代數平凡，不變 sigma-代數亦然：位移為遍歷。故 E[ X_0 given I ] = E[X_0]，時間平均 (1/n) sum X_k 收斂到常數 E[X_0]——即強大數法則。
I 平凡即遍歷性，正是它把伯克霍夫極限從一個隨機變數塌縮為一個常數。
切勿把不變 sigma-代數與尾 sigma-代數混為一談。對獨立同分布序列兩者一致，但一般情形不同；例如某系統可以非遍歷（I 非平凡），在另一種動力下尾代數卻仍平凡。