波蘭空間

在本領域中，對狀態空間 S 始終成立的假設是它為波蘭空間。這不是賣弄學問：普羅霍羅夫定理、斯科羅霍德表示定理最乾淨的形式、正則條件分布的存在、以及測度的分解，全都恰好需要波蘭空間所提供的結構。命名並理解這類空間，正是讓抽象理論能一致地套用於 R^d、C[0,1]、D[0,1] 以及測度空間本身者。

一個拓樸空間稱為波蘭的，若它可分（有可數稠密子集）且完備可度量化（容許一個與其拓樸相容的度量，在該度量下它是完備度量空間）。注意微妙之處：完備性是度量的性質，但波蘭性只要求「存在某個」相容的完備度量，所以開區間 (0,1) 是波蘭的（同胚於 R），儘管其通常度量不完備。標準的波蘭空間包括所有 R^n、任何可分巴拿赫或希爾伯特空間、配上確界度量的連續路徑空間 C[0,1]、配 Billingsley 斯科羅霍德度量的右連左極空間 D[0,1]，以及關鍵地，配 Levy-Prokhorov 度量、波蘭 S 上的機率測度空間 P(S)。這一類在可數乘積、取閉子集與取波雷爾子集（後者給出標準波雷爾結構）之下封閉。

兩個推論解釋了機率學家為何堅持它。其一，烏拉姆定理：波蘭空間上每個有限波雷爾測度都是緊的（以緊集內正則），這正是使普羅霍羅夫逆向成立、並讓「以緊集逼近」論證能運作的假設。其二，在波蘭空間上所有不可數標準波雷爾空間都與 R 波雷爾同構（波雷爾同構定理），這正是保證正則條件機率與分解存在者，是嚴格處理條件期望以及建構隨機過程的技術骨幹。誠實的要點：去掉可分性或完備性，這些保證就可能失效（不緊的測度、沒有正則條件分布），所以「波蘭」是使整個理論乾淨的最低衛生假設。