愛因斯坦張量（Einstein tensor）

愛因斯坦需要一個由曲率建構的特定量，放在他場方程的一邊，與物質相對。它不能是隨便一種組合：為了配上一份從不創生或消滅能量的物質內容，幾何那一邊必須無論如何都自動尊重守恆律。愛因斯坦張量正是那個被巧妙設計、把守恆性內建其中的曲率組合。它是被包裝好、隨時可以令其等於物質的曲率。

它定義為 G_ab = R_ab - (1/2) R g_ab，即里奇張量減去里奇純量的一半再乘上度規。它決定性的優點源自縮併後的比安基恆等式：對任何度規，它的協變散度恆等於零，nabla^a G_ab = 0。這是關於幾何的數學事實，在施加任何物理之前就成立。它也是（在一個整體常數與一個外加的度規倍數，即宇宙常數項，之下）唯一能由度規及其前兩階導數建構、且散度為零的對稱張量。

你會在場方程整個左邊遇到愛因斯坦張量，G_ab = (8 pi G / c^4) T_ab。它自動無散度並不是技術細節；它迫使右邊服從 nabla^a T_ab = 0，也就是能量與動量的局部守恆。換句話說，是幾何保證了守恆律，而不是兩者各自被分別強加。值得強調的提醒是：在四維中愛因斯坦張量的跡是里奇純量的負值，G = -R，因此它是把 R_ab 中已有的曲率資訊重新打包，而非在其上添加新的資訊。