方向餘弦（direction cosines）

若你想說一條線在空間中朝哪個方向，一個俐落的辦法是報出它與三條軸各自所夾的角。那三個角的餘弦就是方向餘弦——三個只編碼純方向的數，是羅盤方位在空間中的對應物。它們其實不過是沿該線的單位向量的分量，只是換上角度的語言。

設一條線（或一個向量）與正 x、y、z 軸分別夾角 alpha、beta、gamma。方向餘弦為 l = cos alpha、m = cos beta、n = cos gamma。若向量為 v = (a, b, c)，長度 |v| = sqrt(a^2 + b^2 + c^2)，則 l = a/|v|、m = b/|v|、n = c/|v|——這正是單位向量 v-hat 的分量。一個界定性恆等式永遠成立：l^2 + m^2 + n^2 = 1，因為 (l, m, n) 是單位向量。密切相關的是方向比（或方向數）：任何與 (l, m, n) 成比例的三元組，例如尚未除以長度的原始分量 (a, b, c)。方向比較容易讀出，只在你需要單位長度版本時才正規化為方向餘弦。

方向餘弦給出一條線方向的免座標把手，用來寫直線方程式、判別平行（方向餘弦相同，至多差一個符號）、並透過內積求兩線夾角：cos theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|。一個值得標明的點：一個方向與它的正相反方向共用同一條線，卻有正負相反的方向餘弦——(l, m, n) 與 (-l, -m, -n) 描述沿一線行進的兩種走法。所以方向餘弦把方向連同它的指向都釘死，而光禿的直線則對兩種指向都不在意。