乘以 t（對 s 微分）（differentiation in s）

拉普拉斯世界裡藏著一種令人愉悅的對稱。導數規律顯示對 t 微分（大致）對應於乘以 s。這條規律是另一邊的搭檔：在時間域乘以 t，對應於對 s 微分。當你在兩個域之間穿越時，這兩個運算互換位置。

規律是 L{t f(t)} = -F'(s)，其中 F'(s) 表示 F 對 s 的導數。更一般地，乘以 t^n 帶來 n 次導數並附上符號：L{t^n f(t)} = (-1)^n F^(n)(s)。那個減號來自積分裡的 e^(-st)：對 s 微分那個因子會帶下一個 -t，所以每對 s 微分一次，就等於乘上一次 -t。這給了你一個方法，能從舊變換造出新變換而不必重做積分——你只要對已有的變換微分。

它也是冪變換最乾淨的來源：從 L{1} = 1/s 出發反覆微分，就還原出 L{t} = 1/s^2、L{t^2} = 2/s^3 以及整個家族。更重要的是，當外力項形如 t 乘上某物——例如 t sin(t) 或 t e^(t)，這些恰好出現在通常的猜測必須乘以 t 的共振情形——時，你就需要這條規律。每當遇到這類項，對 s 微分就是乾淨地變換它的工具。