冪函數 t^n 的變換（transform of t^n）

在你直接背下變換的那幾個基本部件函數當中，t 的純冪——t、t^2、t^3 等等——是繼常數之後最基本的。它們到處出現，因為多項式到處都是，而它們的變換遵循一個乾淨、好記的規律。

規律是 L{t^n} = n! / s^(n + 1)，其中 n 是非負整數，n!（n 階乘）表示 n 乘 (n - 1) 乘 ... 乘 1。看看這個規律如何生長：L{1} = 1/s（取 n = 0，因為 0! = 1）；L{t} = 1/s^2；L{t^2} = 2/s^3；L{t^3} = 6/s^4。t 每升高一次冪，分母上 s 的冪就升高一，分子就乘上下一個階乘。你可以用分部積分推導它，但實務上直接從表上讀。（對非整數冪，階乘要換成 gamma 函數，但整數情形才是主力。）

這一條是你經常會用到的標準變換表中的一列，尤其在部分分式分解之後留下像 2/s^3 這種項要反演時。看到 2/s^3 你立刻讀成 t^2；看到 6/s^4 你讀成 t^3。階乘是唯一要記清的東西——忘掉 n! 而把 L{t^2} 寫成 1/s^3 是最常見的失誤。