微分運動學

微分運動學著眼於極小的變化：如果你把機械臂的每個關節都撥動那麼一絲絲，它的手究竟會平移多少、朝哪個方向移？它問的不是一秒鐘裡的完整速度，而是能想像到的最小一步——一絲絲的關節轉動，以及與之對應的一絲絲手部移動。它是「放大鏡下」看關節運動與手部運動如何綁在一起的視角。

在極小步長裡做事，結果是一種美妙的簡化。在一整段大幅運動裡，關節與手之間的聯繫是糾纏又彎曲的；但只要這一步足夠小，這層聯繫就幾乎變成一個簡單、筆直的比例關係——而這個比例正是由雅可比矩陣抓住的，那張把關節的一點點扭動映射成手的一點點平移的表。這就是為什麼機器人控制有那麼多是建立在極小增量之上的：把成千上萬個這樣小而乖巧的步子疊起來，你就得到一段完整、平滑、可控的運動，而不必一口氣去硬碰那條完整的彎曲關係。

微分運動學和速度運動學是同一枚硬幣的兩面。速度運動學把這層聯繫說成速度（每秒移動多少）；微分運動學把它說成增量（每一小步移動多少）。兩者倚靠的是同一個雅可比矩陣，而數字控制器——反正本就是一拍一拍地極小步更新——天生就是用這種小增量在思考的。